Hyperbolsk funksjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus) og coth (cotangens hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som  \sin x og  \cos x kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane  \sinh x og  \cosh x parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykk[endre | endre wikiteksten]

sinh, cosh og tanh
csch, sech og coth

Dei hyperbolske funksjonane er :

  • Hyperbolsk sinus:
\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}
  • Hyperbolsk cosinus:
\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}
  • Hyperbolsk tangens:
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}
  • Hyperbolsk cotangens:
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}
  • Hyperbolsk secant:
\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}
  • Hyperbolsk cosecant:
\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

  • Hyperbolsk sinus:
\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolsk cosinus:
\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolsk tangens:
\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolsk cotangens:
\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!
  • Hyperbolsk secant:
\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!
  • Hyperbolsk cosecant:
\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

der i er den imaginære eininga definert som i2 = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold[endre | endre wikiteksten]

\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
\cosh(-x) =  \cosh x\,\!

Dermed:

\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
\coth(-x) = -\coth x\,\!
\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

\operatorname{arsech}\,x=\operatorname{arcosh} \frac{1}{x}
\operatorname{arcsch}\,x=\operatorname{arsinh} \frac{1}{x}
\operatorname{arcoth}\,x=\operatorname{artanh} \frac{1}{x}

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x
\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet[1]:

\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:[2]

\text{areal} = \int_a^b{ \cosh{x} } \ dx= \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx} \cosh{x}\right)^2} \ dx = \text{bogelengd}.

Inverse funksjonar som logaritmar[endre | endre wikiteksten]

\operatorname {arsinh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
\operatorname {arcosh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1
\operatorname {artanh} \, x=\tfrac{1}{2}\ln  \frac{1+x}{1-x} ;\left| x \right|<1
\operatorname {arcoth} \, x=\tfrac{1}{2}\ln  \frac{x+1}{x-1} ;\left| x \right|>1
\operatorname {arsech} \, x=\ln  \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} ;0<x\le 1
\operatorname {arcsch} \, x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)

Deriverte[endre | endre wikiteksten]

 \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,
 \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,
 \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

Standardintegral[endre | endre wikiteksten]

\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

Where C is the constant of integration.

Taylorrekkjer[endre | endre wikiteksten]

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\coth x = x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (Laurentrekkje)
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi (Laurentrekkje)

der

B_n \, er det n-te Bernoullitalet
E_n \, er det n-te Eulertalet

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html. Henta 21. nov. 2011. 
  2. N.P., Bali (2005). Golden Intergral Calculus. Firewall Media. s. 472. ISBN 8-170-08169-6. , Extract of page 472

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]

Commons-logo.svg Commons har multimedia som gjeld: Hyperbolsk funksjon