Hyperbolsk funksjon

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus) og coth (cotangens hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som $\sin x$ og $\cos x$ kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane $\sinh x$ og $\cosh x$ parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykk

sinh, cosh og tanh

csch, sech og coth

Dei hyperbolske funksjonane er :

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}$

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}$

• Hyperbolsk secant:

$\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}$

• Hyperbolsk cosecant:

$\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}$

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x = {\rm{i}} \cot {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolsk secant:

$\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!$

• Hyperbolsk cosecant:

$\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!$

der i er den imaginære eininga definert som i² = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold

$\sinh(-x) = -\sinh x\,\!$

$\cosh(-x) = \cosh x\,\!$

Dermed:

$\tanh(-x) = -\tanh x\,\!$

$\coth(-x) = -\coth x\,\!$

$\operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,\!$

$\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!$

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

$\operatorname{arsech}\,x=\operatorname{arcosh} \frac{1}{x}$

$\operatorname{arcsch}\,x=\operatorname{arsinh} \frac{1}{x}$

$\operatorname{arcoth}\,x=\operatorname{artanh} \frac{1}{x}$

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,$

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

$\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x$

$\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x$

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet:

$\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0$

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:

$\text{areal} = \int_a^b{ \cosh{x} } \ dx= \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx} \cosh{x}\right)^2} \ dx = \text{bogelengd}.$

Inverse funksjonar som logaritmar

$\operatorname {arsinh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)$

$\operatorname {arcosh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1$

$\operatorname {artanh} \, x=\tfrac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x} ;\left| x \right|<1$

$\operatorname {arcoth} \, x=\tfrac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1} ;\left| x \right|>1$

$\operatorname {arsech} \, x=\ln \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} ;0<x\le 1$

$\operatorname {arcsch} \, x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)$

Deriverte

$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,$

$\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,$

$\frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}$

Standardintegral

$\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C$

$\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C$

$\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C$

$\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

Where C is the constant of integration.

Taylorrekkjer

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\coth x = x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (Laurentrekkje)

$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$ (Laurentrekkje)

der

$B_n \,$ er det n-te Bernoullitalet

$E_n \,$ er det n-te Eulertalet

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic function» frå Wikipedia på engelsk, den 21. november 2011.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:

Bakgrunnsstoff

Commons har multimedia som gjeld: Hyperbolsk funksjon