Taylorrekkje

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Når graden til Taylorpolynomet stig, nærmar han seg den korrekte funksjonen. Denne figuren syner \sin x (i svart) og Taylor-tilnærmingar, polynomgrader 1, 3, 5, 7, 9, 11 og 13.
Eksponentialfunksjonen (i blått) og summen av dei første n+1 ledda av Taylorrekkja til funksjonen ved 0 (i raudt).

Taylorrekkjer er i matematikk ein måte å skrive ein funksjon som ein uendeleg sum av ledd rekna ut frå verdiane til dei deriverte av funksjonen i eit enkelt punkt. Rekkja kan reknast som grensa til taylorpolynoma. Taylorrekkjer er kalla opp etter den engelske matematikaren Brook Taylor. Om rekkjene er sentrert ved null, vert rekkjene òg kalla maclaurinrekkjer etter den skotske matematikaren Colin Maclaurin.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon ƒ(x) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal a, er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast:

 \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

der n! står for fakultetsverdien til n og ƒ (n)(a) står for n-te deriverte av ƒ vurdert i punktet a; den nullte deriverte av ƒ er definert til å vere ƒ sjølv og (xa)0 og 0! er begge definerte til å vere 1.

I spesialtilfellet der a = 0 vert rekkna òg kalla ei maclaurinrekkje.

Døme[endre | endre wikiteksten]

Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv.

Maclaurinrekkje for (1 − x)−1 er den geometriske rekkja.

1+x+x^2+x^3+\cdots\!

så Taylorrekkjene for x−1 ved a = 1 er

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for −log(1 − x), der log er den naturlege logaritmen.

x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!

og den tilsvarande taylorrekkja for log(x) ved a = 1 er

(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!

Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen ex ved a = 0 er

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \quad = \quad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!

Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av ex er lik ex og e0 er lik 1. Dette gjev att leddet (x − 0)n i teljaren og n! i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.

Maclaurinrekkjer for nokre vanlege funksjonar[endre | endre wikiteksten]

Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument x.

Eksponentialfunksjonen:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for alle } x\!

Naturleg logaritme:

\ln(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for }|x|\le 1, \, x\not= 1
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }|x|\le 1, \, x\not= -1


Endeleg geometrisk rekkje:

\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ og } m\in\mathbb{N}_0\!

Uendeleg geometrisk rekkje:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| < 1\!

Variantar av uendelege geometriske rekkjer:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| < 1 \text{ og } m\in\mathbb{N}_0\!
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| < 1\!

Kvadratrot:

\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ for }|x|<1\!

Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for α = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for α = −1):

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for alle }|x| < 1 \text{ og alle komplekse } \alpha\!

med generaliserte binomkoeffisientar

{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\!

Trigonometriske funksjonar:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for alle } x\!
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for alle } x\!
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2}\!
der Bs er Bernoullital.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2}\!
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!

Hyperbolske funksjonar:

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for alle } x\!
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for alle } x\!
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| < \frac{\pi}{2}\!
\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!
\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| < 1\!

Lambert sin W-funksjon:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\text{ for }|x| < \frac{1}{\mathrm{e}}\!

Tala Bk som dukkar opp i summasjonsutvidingane til tan(x) og tanh(x) er bernoullital. Ek i utvidinga av sec(x) er eulertal.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]