Hyperbolsk spiral

Ein hyperbolsk spiral for a=2

Ein hyperbolsk spiral er ei spiralforma kurve som i polarkoordinatar har likninga

$r={\frac {a}{\theta }}$

Avstanden til sentrum er omvendt proporsjonal med vinkelen θ og a er ein konstant.

Han byrjar i ein uendeleg avstand frå polen i sentrum (for θ start frå null r = a/θ startar frå uendeleg) og snor seg raskare og raskare rundt når ho nærmar seg polen. Avstanden frå eit vilkårleg punkt til polen, langs kurva, er uendeleg. Om ein transformerer frå polarkoordinatar:

$x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta ,$

får ein følgjande likning i kartesiske koordinatar:

$x=a{\cos t \over t},\qquad y=a{\sin t \over t},$

der parameteren t er ein ekvivalent til polarkoordinaten θ.

Spiralen har ein asymptote ved y = a: for t som nærmar seg null ved origo, medan abscissen veks mot uendeleg:

$\lim _{t\to 0}x=a\lim _{t\to 0}{\cos t \over t}=\infty ,$

$\lim _{t\to 0}y=a\lim _{t\to 0}{\sin t \over t}=a\cdot 1=a.$

Det var Pierre Varignon som først studerte kurva i 1704. Seinare arbeidde òg Johann Bernoulli og Roger Cotes med kurva.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic spiral» frå Wikipedia på engelsk, den 21. november 2011.