Metrisk rom

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon

Eit metrisk rom (V,d) er ei mengd V der det er definert ein metrikk d, det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

$d : V \times V \to \mathbb{R}^+$

Funksjonen må oppfylle følgjande krav for alle element x, y i V:

$\begin{array}{lll} d(x,y) & \ge 0 & \mbox{Ikkje-negativ} \\ d(x,y) & = 0 \iff x = y \\ d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\ d(x,y) & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikskapen} \\ \end{array}$

Komplette metriske rom

Eit metrisk rom V blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer mot eit element som òg ligg i V.

Mengda av reelle tal R er eit døme på eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal Q, dvs. tal som kan skrivast som ein brøk. I Q er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

$\epsilon$-omegn

Ein $\epsilon$-omegn til eit element a i eit metrisk rom (V,d) er definert som ei mengd

$\{ x \in V | \ d(x,a) < \epsilon \} \,$

Ei punktert $\epsilon$-omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet a :

$\{ x \in V | \ 0 < d(x,a) < \epsilon \} \,$

Avgrensa mengd i eit metrisk rom

Ei undermengd S i eit metrisk rom (V,d) er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt x i S og ein positiv konstant M slik at

$d(x,y) < M \ \ \forall y \in S$

Døme på metriske rom

• Mengda av reelle tal definert med metrikken d(x,y) = | x - y | er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma Rⁿ metrisk rom.
• Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken d(x,y) = || x - y ||.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Metrisk rom» frå Wikipedia på bokmål, den 14. januar 2012.