Polarkoordinatsystem

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
To punkt med tilhøyrande koordinatsett gjevne med polarkoordinatar.

Eit polarkoordinatsystem er eit koordinatsystem der kvart punkt i eit plan er avgjort ut ifrå avstanden frå eit gjeve punkt (vanlegvis origo) og vinkel i tilhøve til x-aksen. I eit vanleg kartesisk koordinatsystem blir punkta avgjort ut ifrå avstanden til kvar koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinatar er at ein angjev alle punkt ved hjelp av følgjande informasjon:

  • Punktet sin vinkel (gradar eller radianar ) i tilhøve til kva ein ville kalle x-aksen i eit rektangulært koordinatsystem, θ.
  • Punktet sin avstand frå origo, r.

Konvertering mellom polare og kartesiske koordinatar[endre | endre wikiteksten]

Ein figur som viser tilhøvet mellom polare og kartesiske koordinatar.

Omrekning av polarkoordinatar til kartesiske koordinatar kan gjerast ved:

x = r \cos \theta \,
y = r \sin \theta, \,

Medan omrekninga frå kartesiske koordinatar til polarkoordinatar kan gjerast ved:

r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad (gjeven ved Pythagoras’ læresetning), og
\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{viss } x = 0 \mbox{ og } y = 0\\
\arcsin(\frac{y}{r}) & \mbox{viss } x \geq 0 \\
\arcsin(\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{viss } x < 0\\
\end{cases}

Alle desse formlene føreset at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gjev ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gje ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2]. Dersom ein vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan ein òg bruke:

\theta =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{viss } x > 0 \mbox{ og } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{viss } x > 0 \mbox{ og } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{viss } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{viss } x = 0 \mbox{ og } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{viss } x = 0 \mbox{ og } y < 0\\
0 & \mbox{viss } x = 0 \mbox{ og } y = 0
\end{cases}



Bruk av polarkoordinatar[endre | endre wikiteksten]

En sirkel


Ei likning uttrykt i polarkoordinatar er kjent som ei polar likning. Normalt er desse likningane gjevne ved å definere r som ein funksjon av θ. Denne definisjonen gjev visse fordeler i bruken av polarkoordinatar i tilhøve til kva ein kan oppnå med rektangulære. Særleg fordelaktig er det å bruke polarkoordinatar der det inngår noko sirkulært. Det enklaste tenkjelege dømet er å framstille ein sirkel. Her er definisjonen av ein sirkel med radius 1.


\left.
\begin{matrix}
x = r \cdot \cos(\varphi)\\
y = r \cdot \sin(\varphi)
\end{matrix}
\right\} \quad , r = 1 \quad , \quad \varphi \in [0 , 2\pi]

Lengda til det rørlege punktet vert altså sett til konstant å vere lik éin, som altså er avstanden frå origo til periferien. Deretter blir sett vinkelen til å variere mellom dei 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinklar), der heile sirkelen er med.

Arkimedisk spiral[endre | endre wikiteksten]

Ein arm av ein arkimedisk spiral likninga r(θ) = θ for 0 < θ < 6π

Ein arkimedisk spiral er ein spiral som vart oppdaga av Arkimedes, som kan forklarast med polarkoordinatar. Spiralen har formelen

r(\theta) = a+b\theta. \,

Ved å forandre a vil spiralen skifte form, medan b er distansen mellom kurvene, som for ein gjeven spiral alltid er konstant. Den arkimediske spiralen har to kurver, ein for θ > 0 og ein for θ < 0. Dei to kurvene startar i origo. Sett bort fra kjeglesnitta var denne kurven av dei første til å bli skildra. Kurva er òg eit godt døme på kurver som blir best skildra med polarkoordinater.

Polar rose[endre | endre wikiteksten]

Ei polar rose med likning: r(θ) = 2 sin 4θ

Ei polar rose er ei matematisk kurve som ser ut som ein blome med kronblad og kan defineres som ei enkel polar likning:

r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

For ein kvar konstant \phi_0 (inkludert 0). Dersom k er eit heiltal vil desse likningane gje kurver der «blomen» har k kronblad når k er eit oddetal og 2k kronblad når k er eit partal. Dersom k er eit rasjonalt tal, men ikkje eit heiltal vil ein òg få fram ein blome der kronblada overlappar kvarandre. Her må derimot definisjonsintervallet for kurva vere større enn [0, 2π) for at «blomen» skal bli komplett. Merk at det er umogeleg å definere ei kurve der ein får 4n +2, der n er eit heiltal, kronblad. Variabelen a gjev lengda på kronblada.

Kjeglesnitt[endre | endre wikiteksten]

Alle kjeglesnitta kan òg uttrykkast ved hjelp av polarkoordinatar gjennom formelen:

r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}

Der e er eksentrisiteten. og \ell er semi latus rectum

Dersom e > 1, vil likninga gje ein hyperbel; e = 1 gjev ein parabel medan e < 1 gjev ein ellipse. Spesialtilfellet e = 0 vil gje ein sirkel mad radius \ell.

Bruk i tre dimensjonar[endre | endre wikiteksten]

Polarkoordinatar kan òg nyttast til bruk i tre dimensjonar. Kulekoordinatar og sylinderkoordinatar inneheld begge polarkoordinatplanet, utvida med ein ekstra akse.

Sylinderkoordinatar[endre | endre wikiteksten]

Punktet P plotta med sylinderkoordinatar

Sylinderkoordinatsystemet er ei utviding av polarkoordinatar med ein ekstra z-akse, på same måte som det kartesiske koordinatsytemet i tre dimensjonar. Den tredje koordinaten er vanlegvis uttrykt med ein h eller ein z, som skildrar høgda til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatane blir då skrive (r, θ, h).

Samanhengen mellom dei tre sylinderkoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir

 \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= h.
\end{align}

Kulekoordinatar[endre | endre wikiteksten]

Punktet P plotta med kulekoordinatar

Kulekoordinatsystemet er eit koordinatsystem basert på polarkoordinatar. Kulekoordinatar skil seg frå polarkoordinatar ved at høgda frå xy-planet blir skildra av ein vinkel φ frå z-aksen, og at radiusen på xy-planet r er skildra med ρ som er radiusen frå origo til flata til ein lekam på eit vilkårleg punkt. Vinkelen til φ varierer med storleikane 0°-180° eller 0-π radianar. Alle dei tre koordinatane blir då skrive (ρ, θ, φ).

Samanhengen mellom dei tre kulekoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir;

 \begin{align}
x &= \rho \, \sin\varphi \, \cos\theta \\
y &= \rho \, \sin\varphi \, \sin\theta \\
z &= \rho \, \cos\varphi.
\end{align}

Kjelder[endre | endre wikiteksten]