Statistisk forventning

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Forventning eller forventningsverdi er ein storleik innan sannsynsrekning. Forventninga til ein stokastisk variabel er ein verdi, slik at viss ein gjentek eksperimentet som ligg til grunn for variabelen mange gonger, vil gjennomsnittet av utfalla nærme seg forventninga. I det diskrete tilfellet er forventninga lik summen av sannsynet for kvart utfall, multiplisert med verdien av dette utfallet.

For ein stokastisk variabel X, skriv ein E[X] for forventningsverdien til X.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Forventningsverdien til ein diskret stokastisk variabel[endre | endre wikiteksten]

Viss X er ein diskret stokastisk variabel, og tek verdiane x1, x2, ... med sannsyn høvesvis p1, p2, ... så er forventningsverdien E(X) gjeven ved

E(X)=\sum_{i} x_i p_i.

Viss X kan ta teljeleg uendeleg mange forskjellige verdiar, er denne summen ei uendeleg rekkje. I dette tilfellet eksisterer forventningsverdien E[X] berre viss denne rekkja konvergerer absolutt.

Forventningsverdien til ein stokastisk variabel med tettleiksfunksjon[endre | endre wikiteksten]

Viss ein stokastisk variabel X har tettleiksfunksjon f(x), er forventningsverdien gjeven ved

E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx.

Forventningsverdien eksisterer berre viss integralet \int_{-\infty}^\infty \left| x \right| f(x)dx konvergerer.

Generell definisjon[endre | endre wikiteksten]

Generelt blir forventningsverdien definert som følgjer: Viss X er ein P-integrerbar stokastisk variabel frå eit sannsynsrom (Ω, Σ, P) til (\overline\mathbb R,B), der B er den borelske σ-algebra over \overline\mathbb R så definerast :E(X)=\int_\Omega X dP.

Empirisk forventning[endre | endre wikiteksten]

Den empiriske motsatsen til forventning er gjennomsnittet. Forventning estimerast ofte ved gjennomsnitt og trimma gjennomsnitt og for symmetriske fordelingar òg ved medianen.

Eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

Forventning er ein lineær operator, så for vilkårlege konstantar a og b og ein stokastisk variabel X gjeld

E[aX + b] = aE[X]+b.

Døme[endre | endre wikiteksten]

Eit døme på ein diskret stokastisk variabel er gjennomsnittsresultatet av ei nlang serie med kast (100 eller fleire) med ein terning med 1-6 «auge» på sidene. Er terningen rett, dvs. riktig balansert, har kvar av sidene sannsynet 1/6 for å visast. Forventa mengd auge blir då 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 = 3,5.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]