Linearisering

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Linearisering er ein metode i matematikk for å finne ei lineær tilnærming til ein funksjon ved eit visst punkt. I studiet av dynamiske system er linearisering ein metode for å undersøke stabiliteten til eit likevektspunkt i eit system av ikkje-lineære differensiallikningar eller diskrete dynamiske system.[1]. Denne metoden vert nytta i felt som ingeniørvitskap, fysikk, økonomi og økologi.

Linearisering av ein funksjon[endre | endre wikiteksten]

Lineariseringar av ein ein funksjon er linjer som ein vanlegvis nyttar for utrekning. Linearisering er ein effektiv metode for å tilnærme resultatet av ein funksjon ved alle basert på verdien og hellinga til funksjonen ved , om f(x) er kontinuerleg på (eller ) og at er nær . Kort sagt, linariseringa tilnærmar resultatet til ein funksjon nær .

Til dømes veit du kanskje at . Men utan ein kalkulator, kva vil vere ei god tilnærming av ?

For alle funksjonar , kan tilnærmast om han ligg nær eit kjend kontinuerleg punkt. Det mest grunnleggande kravet er at der er lineariseringa av f(x) at x = a er . Punkt-hellings-forma av ei likning dannar ei likning for ei linje, om ein har punktet og hellinga . Den generelle forma for denne likninga er: .

Ved å nytte punktet , vert til . Fordi kontinuerlege funksjonar er lokalt lineære, er den beste hellinga å erstatte hellinga til linjetangenten til ved .

Sidan lokal linearitet gjeld for dei fleste punkta vilkårleg nær til , vil dei som ligg relativt nær fungere bra for lineære tilnærmingar. Trass alt bør hellinga vere i det mest nøyaktige tilfellet lik hellinga til tangentlinja ved .

Ei tilnærming av f(x) ved (x, f(x))

Visuelt syner figuren tangentlinja til ved x. Ved , der er ein liten positiv eller negativ verdi, er f(x+h) særs nær verdien til tangentlinja i punktet .

Den siste likninga for lineariseringa av ein funksjon ved er:

For er . Den deriverte til er og hellinga til ved er .

Døme[endre | endre wikiteksten]

For å finne kan vi nytte det vi veit, . Lineariseringa til ved er , sidan funksjonen definerer hellinga til funksjonen ved . Ved å setje inn , vert lineariseringa til 4 . I dette tilfellet er , så er tilnærma . Den verkelege verdien er nær 2.00024998, så lineariseringa har ein relativ feil på mindre enn ein milliondel av ein prosent.

Linearisering av ein multivariabel funksjon[endre | endre wikiteksten]

Likninga for lineariseringa av ein funksjon i eit punkt er:

Den generelle likninga for lineariseringa av ein multivariabel funksjon i eit punkt er:

der er vektoren av variablar og er lineariseringa til punktet ein undersøker.[2].

Bruk av linearisering[endre | endre wikiteksten]

Linearisering gjer det mogeleg å nytte metodar for å studere lineære system til å analysere korleis ikkje-lineære funksjonar oppfører seg nær eit visst punkt. Lineariseringa til ein funksjon er det førsteordens leddet til taylorutvidinga rundt punktet ein undersøker. For eit system definert av likninga

,

kan det lineariserte systemet skrivast

der er punktet ein undersøker og er den jacobiske til ved .

Stabilitetsanalyse[endre | endre wikiteksten]

I stabilitetsanalyse kan ein nytte eigenverdiane til jacobimatrisa i eit likevektspunkt for å avgjere eigenskapane til likevekta. Om alle eigenverdiane er positive er likevekta ustabil og om alle er negative er likevekta stabil. Om verdiane er både positive og negative er likevekta eit sadelpunkt. Alle komplekse eigenverdiar vil dukke opp i kompleks-konjugerte par og indikere ein spiral.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]