Når graden til Taylorpolynomet stig, nærmar han seg den korrekte funksjonen. Denne figuren syner
sin
x
{\displaystyle \sin x}
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 og 13 . Eksponentialfunksjonen (i blått) og summen av dei første n +1 ledda av Taylorrekkja til funksjonen ved 0 (i raudt).Taylorrekkjer er i matematikk ein måte å skrive ein funksjon som ein uendeleg sum av ledd rekna ut frå verdiane til dei deriverte av funksjonen i eit enkelt punkt. Rekkja kan reknast som grensa til taylorpolynoma . Taylorrekkjer er kalla opp etter den engelske matematikaren Brook Taylor . Om rekkjene er sentrert ved null, vert rekkjene òg kalla maclaurinrekkjer etter den skotske matematikaren Colin Maclaurin .
Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon ƒ (x ) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal a , er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast:
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}
der n ! står for fakultetsverdien til n og ƒ (n ) (a ) står for n -te deriverte av ƒ vurdert i punktet a ; den nullte deriverte av ƒ er definert til å vere ƒ sjølv og (x − a )0 og 0! er begge definerte til å vere 1.
I spesialtilfellet der a = 0maclaurinrekkje .
Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv.
Maclaurinrekkje for (1 − x )−1 er den geometriske rekkja .
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}
så Taylorrekkjene for x −1 ved a = 1
1
−
(
x
−
1
)
+
(
x
−
1
)
2
−
(
x
−
1
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}
Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for −log(1 − x ) , der log er den naturlege logaritmen .
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}
og den tilsvarande taylorrekkja for log(x ) ved a = 1
(
x
−
1
)
−
(
x
−
1
)
2
2
+
(
x
−
1
)
3
3
−
(
x
−
1
)
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}
Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen ex a = 0 er
1
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
1
+
x
+
x
2
2
+
x
3
6
+
x
4
24
+
x
5
120
+
⋯
.
{\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}
Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av ex x 0 er lik 1. Dette gjev att leddet (x − 0)n i teljaren og n ! i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.
Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument x .
Eksponentialfunksjonen :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
for alle
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}
Naturleg logaritme :
ln
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
for
|
x
|
≤
1
,
x
≠
1
{\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =1}
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
for
|
x
|
≤
1
,
x
≠
−
1
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =-1}
geometrisk rekkje :
1
−
x
m
+
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
m
x
n
for
x
≠
1
og
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ og }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
Uendeleg geometrisk rekkje:
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}
Variantar av uendelege geometriske rekkjer:
x
m
1
−
x
=
∑
n
=
m
∞
x
n
for
|
x
|
<
1
og
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ og }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
x
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
Kvadratrot :
1
+
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
n
!
2
4
n
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}
Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for α = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for α = −1):
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
for alle
|
x
|
<
1
og alle komplekse
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for alle }}|x|<1{\text{ og alle komplekse }}\alpha \!}
med generaliserte binomkoeffisientar
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
.
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!}
Trigonometriske funksjonar :
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
for alle
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
for alle
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
der Bs er Bernoullital .
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
Hyperbolske funksjonar :
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
for alle
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
for alle
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
315
x
7
+
⋯
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
arsinh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
artanh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}
Lambert sin W-funksjon :
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
for
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ for }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!}
Tala B k x ) og tanh(x ) er bernoullital . E k x ) er eulertal .
