Indreprodukt

Eit indreprodukt, skalarprodukt eller prikkprodukt er ein funksjon som avbildar to vektorar i eit vektorrom inn på ein skalar. Funksjonen er definert slik at han gjev eit mål for eit forhold mellom dei to vektorane og gjev ei generalisering av intuitive geometriske omgrep som avstand og vinkel òg i meir abstrakte vektorrom. Omgrepet ortogonalitet får ei naturleg generalisering ved hjelp av indreproduktet.

Ved å la indreproduktet generalisere vinkelomgrepet kan ein i matematikk elegant utleie mange grunnleggjande resultat for tilsynelatande heilt ulike matematiske objekt, basert på dei grunnleggjande eigenskapane til «vinkelmålet». Indreproduktet spelar ei viktig rolle i mange delar av matematikk, til dømes i Fourieranalyse og i approksimasjonsteori.

Eit vektorrom utstyrt med eit indreprodukt vert kalla eit indreproduktrom. Eit komplett indreproduktrom blir kalla eit Hilbertrom. Namnet pre-Hilbertrom blir av og til brukt for eit indreproduktrom som ikkje er komplett.

I ein del litteratur finn ei nemninga «prikkprodukt» avgrensa til å gjelde det Euklidske indreproduktet.

Definisjon

Eit indreprodukt på eit vektorrom $V$ er ein funksjon som for kvart vektorpar $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ definerer ein skalar $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$, slik at funksjonen oppfyller dei følgjande eigenskapane for for alle vektorar $\mathbf {u}$, $\mathbf {v}$ og $\mathbf {w}$ i $V$ og alle skalarar $k$:

• Kompleks-konjungert symmetri: $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}$
• Additivitet: $\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$
• Homogenitet: $\langle k\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =k\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$
• Positivitet: $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \geq 0$, og $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle =0$ viss og berre viss $\mathbf {u} =\mathbf {0}$.

Definisjonen gjeld for både reelle og komplekse vektorrom. I symmetrieigenskapen inngår definisjonen av kompleks konjugasjon.

Merk at indreproduktet av ein vektor med seg sjølv $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ alltid er reell, slik at bruken av ulikskapen i positivitetseigenskapen gjev meining.

Eitt og same vektorrom kan utstyrast med ulike indreprodukt, og dermed definere fleire uavhengige indreproduktrom med ulik struktur. Det euklidske indreproduktet og det vekta euklidske indreproduktet, omtalt i den påfølgjande dømesamlinga, er døme på dette.

Eigenskapar

Grunnleggande reknereglar

Direkte avleidd frå aksioma får ein følgjande reknereglar. La $\mathbf {u}$, $\mathbf {v}$ og $\mathbf {w}$ vere vektorar i $V$ og $k$ vere ein skalar. Då er:

• $\langle \mathbf {0} ,\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {0} \rangle =0$
• $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle$
• $\langle \mathbf {u} ,k\mathbf {v} \rangle =k\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$
• $\langle \mathbf {u} -\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle -\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$
• $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} -\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle$

Norm, avstand og vinklar

Gjeve eit indreproduktrom $V$, så definerer vi norma til ein vektor $\mathbf {u}$ ved

$\|\mathbf {u} \|={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$.

Avstanden $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ mellom to vektorar $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ settast lik

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|$.

Vinkelen $\theta$ mellom to vektorar $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ begge ulik $\mathbf {0}$ definerast ved

$\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}$,

og denne vinkelen er veldefinert på grunn av Cauchy-Schwarz-ulikskapen. Vidare vert to vektorar $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ kalla ortogonale dersom $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0$. Synonym til ortogonal er normal og vinkelrett.

Relasjon til ytreprodukt

Viss u og v er kolonnevektorar:

$\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}},~\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$

Då er indre- og ytreprodukta av u og v:

Indreprodukt

$\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{1}+\dots +u_{n}v_{n}$ (skalar)

Ytreprodukt

$\mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&\dots &u_{1}v_{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n}v_{1}&\dots &u_{n}v_{n}\end{bmatrix}}$ (matrise)

Ytreproduktet er òg definert viss u og v har forskjellig mengd element. Då blir ytreproduktet ei ikkje-rektangulær matrise.

Døme

Euklidske indreprodukt

For vektorar $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ og $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ i det euklidske n-rommet kan ein definere det euklidske indreproduktet, gjeven ved

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}$.

Dersom ein tenker på $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ som kolonnevektorer, så har ein òg notasjonen

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$.

Vekta Euklidsk indreprodukt

Dersom $A$ er ein positivt definitt symmetrisk $n\times n$ matrise får ein eit vekta euklidsk indreprodukt for vektorar $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ i det euklidske n-rommet, gjeven ved:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle _{A}=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v}$.

Indreprodukt på funksjonsrom

På vektorrommet av kontinuerlege funksjonar definert på ei lukka mengd intervall $\left[a,b\right]$ kan ein definere indreproduktet mellom $\mathbf {f} =f(x)$ og $\mathbf {g} =g(x)$ til å vere

$\langle \mathbf {f} ,\mathbf {g} \rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\;dx$

Sjå òg

• Kryssprodukt

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Indreprodukt» frå Wikipedia på bokmål, den 26. november 2011.