Rørslelikningane

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Rørslelikningane er likningar som skildrar korleis eit system endrar seg (t.d. rørsla til ein partikkel som vert utsett for ei kraft) som funksjon av tida. Stundom omhandlar likningane differensiallikningane som systemet oppfyller (t.d. Newton sine rørslelover eller Euler-Lagrangelikningane), og stundom løysingane til desse likningane.

Likningane for ein lekam som flyttar seg lineært (altså i ein dimensjon) med jamn akselerasjon er vist under.

Lineære rørslelikningar[endre | endre wikiteksten]

Ein ser på ein lekam i to tidspunkt, starttidspunktet og det aktuelle tidspunktet. Stundom kan ei problemstilling utgjere fleire tidspunkt, som krev fleire likningar.

v_f = v_i + a\Delta t \,
s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (v_i + v_f)\Delta t
s = v_i\Delta t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} a\Delta t^2
v_f^2 = v_i^2 + 2as \,
s = v_f\Delta t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} a\Delta t^2

der

v_i \, er lekamen sin fart i starttidspunktet

og den noverande tilstanden er skildra ved:

s \,, avstanden frå startpunktet.
v_f \,, den noverande farten
\Delta t \,, tida mellom starttidspunktet og den noverande tilstanden.
a er den konstante akselerasjonen, eller tyngdeakselerasjonen for lekamar som fell mot bakken.

Merk at kvar av likningane inneheld fire av dei fem variablane. Altså treng ein berre vite tre av dei fem variablane for å rekne ut dei to andre.

Klassisk versjon[endre | endre wikiteksten]

Likningane over vert ofte skrive på følgjande måte:

v = u+at \,
s = \frac {1} {2}(u+v) t
s = ut + \frac {1} {2} a t^2
v^2 = u^2 + 2 a s \,
s = vt - \frac {1} {2} a t^2

der

s = er forflyttinga frå starttilstanden til sluttilstanden
u = farten i starttilstanden
v = farten i sluttilstanden
a = den konstante akselerasjonen
t = tida forflyttinga har tatt frå start- til sluttilstanden.

Døme[endre | endre wikiteksten]

Mange døme i kinematikk involverer prosjektilar, til dømes ein ball som vert kasta opp i lufta.

Med ein fart i starttilstanden lik u, kan ein rekne ut kor høgt ballen vil gå før den byrjar å falle ned att.

Akselerasjonen er den normale tyngda g. Her må ein hugse at sjølv om desse storleikane ser ut til å vere skalarar, spelar retninga til forskyvinga, farten og akselerasjonen ei rolle, og ein kan sjå på desse som vektorar i ei spesifikk retning. Ein må altså velje kva retning ein skal måle storleikane i, for å kunne bruke likninga over. Ein kan velje å måle s opp frå bakken, akselerasjonen må faktisk vere −g sidan tyngdekrafta virkar nedover, og derfor òg akselerasjonen til ballen.

På det høgaste punktet vil ballen vere i ro, og derfor er v = 0. Ved å bruke den fjerde likninga har vi:

s= \frac{v^2 - u^2}{-2g}

Ved å setje inn og oppheve minusteikna får vi:

s = \frac{u^2}{2g}

Utviding[endre | endre wikiteksten]

Meir komplekse versjonar av desse likningane kan innehalde ein storleik \Deltas for forskyvinga (s - s0), s0 for startposisjonen til lekamen, og v0 for u for å ha konsistens.

v = v_0 + at \,
s = s_0 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (v_0 + v)t \,
s = s_0 + v_0 t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}{at^2} \,
(v)^2 = (v_0)^2 + 2a \Delta s \,
s = s_0 + v t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}{at^2} \,

Men ved at ein kan velje kor ein skal plassere den eindimensjonale aksen som lekamen flyttar seg på, vert desse meir kompliserte versjonane unødvendig.

Likningar for rotasjonsrørsle[endre | endre wikiteksten]

Ein kan skrive om likningane over til å gjelde for ein rotasjon:

 \omega = \omega_0 + \alpha t \,
 \phi = \phi_0 
+ \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}(\omega_0 + \omega)t
 \phi = \phi_0 + \omega_0 t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}\alpha {t^2} \,
 (\omega)^2 = (\omega_0)^2 + 2\alpha \Delta \phi \,
 \phi = \phi_0 + \omega t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}\alpha {t^2} \,

der:

\alpha er vinkelakselerasjon
\omega er vinkelfart
\phi er vinkelforskyving
\omega_0 er vinkelfarten i starttilstanden
\phi_0 er vinkelforskyvinga i starttilstanden
\Delta \phi er endringa av vinkelforskyvinga (\phi - \phi_0).

Utleiing[endre | endre wikiteksten]

Rørslelikning 1[endre | endre wikiteksten]

Ut frå definisjonen av akselerasjon:

\ a = \frac{v - u}{t}

Derfor

at = v - u \,
v = u + at \,

Rørslelikning 2[endre | endre wikiteksten]

Per definisjon

 midla fart = \frac{s}{t}

 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + v) = \frac{s}{t}
s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + v)t

Rørslelikning 3[endre | endre wikiteksten]

Set inn Rørslelikning 1 i Rørslelikning 2

s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + u + at)t
s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (2u + at)t
s = ut + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} at^2

Rørslelikning 4[endre | endre wikiteksten]

t = \frac{v - u}{a}

Ved å bruke Rørslelikning 2 kan ein erstatte t i likninga over

s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + v) ( \frac{v - u}{a} )
2as = (u + v)(v - u) \,
2as = v^2 - u^2 \,
v^2 = u^2 + 2as \,

Rørslelikning 5[endre | endre wikiteksten]

Ved å bruke Rørslelikning 1 til å erstatte u i Rørslelikning 3 får ein

s = vt - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} at^2

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Kjelde[endre | endre wikiteksten]