Lineært tidsinvariant system

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Eit lineært tidsinvariant system (også kjent som eit LTI-system) er eit lineært og tidsinvariant system.

LTI system er skildra ved impulsresponsen i tidsplanet og systemfunksjonen i Z-planet. Foldning mellom impulseresponsen til eit LTI-system og eit signal i tidsplanet, svarar til multiplikasjon av transferfunksjonen til LTI-systemet og Z-transformasjonen av signalet i -planet.

Eigenfunksjon for LTI-system[endre | endre wikiteksten]

Ein eigenfunksjon med omsyn på LTI-system er ein funksjon som har den eigenskapen at når han vert gjeven som inngang til systemet, så vil utgangen til systemet vere den same funksjonen, berre skalert med ein verdi (som då er eigenverdien). Dette er heilt analogt til teori innanføre lineæralgebraen med eigenvektorar og eigenverdiar. Alle LTI-system har denne eigenskapen gjeve eit inngangssignal , definert på intervallet , der er eit komplekst tal. Eigenverdien svarar til fourierkoeffisienten for frekvensen til inngangssignalet:

,

der er systemfunksjonen og er systemet, er inngangssignal og er utgangssignal.

Om inngangssignalet vert avgrensa til eit intervall mindre enn vil ein få ein transientrespons i tillegg som vil påverke forma til utgangssignalet.

Eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

Kausalitet[endre | endre wikiteksten]

Eit lineært tidsinvariant system er kausalt om det oppfyller fylgjande for impulsresponsen til systemet:

 .

For eit kausalt LTI system vil ROC til systemfunksjonen for systemet vere eit område som breider seg ut frå ein sirkel (med einkvan radius) og vidare til endeløysa.

Stabilitet[endre | endre wikiteksten]

Fouriertransformasjonen av impulsresponsen til LTI-systemet må eksistere for at systemet skal vere stabilt. Dette kan ein føre bevis for;

I det siste steget vert tidsinvarianseigenskapen hjå LTI system nytta. Vidare har ein at;

 

Dette kjenner ein att som systemfunksjonen når , altså altså z-transformen for impulsresponsen når . Han skal vere mindre enn .

Sagt på ein annan måte må Z-transformasjonen for impulsresponsen eksistere for . Dette er ekvivalent med at fouriertransformasjonen av impulsresponsen til LTI-systemet må eksistere.