Matematisk gruppe

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ei gruppe er ein algebraisk struktur (G, *) som består av ei ikkje-tom mengd G og ein binær operasjon * slik at

For alle a og b i G er a * b\, også i G (* er lukka i G).
For alle a, b og c i G er a * (b * c) = (a * b) * c\, (* er assosiativ).
Det finst eit element e i G slik at for alle a i G er a * e = e * a = a\, (e er eit identitetselement).
For alle a i G finst det eit element a^{-1} slik at a * a^{-1} =  a^{-1} * a = e\, (a^{-1} er eit inverselement til a).

Dersom me i tillegg har

For alle a og b i G er a * b = b * a\, (* er kommutativ),

så er G ei abelsk gruppe.

Teiknet for den binære operasjonen kan i tillegg til * vera mellom anna + og {\cdot}, eller jukstaposisjon (som i ab for multiplikasjon av a og b). Eit eksempel på ei abelsk gruppe er (\mathbb{Z},+), der + er ordinær addisjon og \mathbb{Z} er mengda av heiltal. Denne gruppa har identitselement 0 og inverselementet til a vert vanlegvis skriven som -a.

Det kan visast at for ei gruppe gjeld også

For alle a, b og c i G er det slik at a * b = a * c\, medfører b = c\, (kansellasjonseigenskapen).
For alle a og b i G finst c og d i G slik at a * c = b\, og d * a = b\, (løyselegskapseigenskapen).

Faktisk er desse to reglane ekvivalente med eksistensen av eit identitetselement og eksistensen av ein invers, i den forstand at dersom ei semigruppe tilfredsstiller kansellasjonseigenskapen og løyselegskapseigenskapen, så er den ei gruppe.

Både identitselementet og inverselementet til kvart element a er unike, noko som følgjer av kansellasjonseigenskapen: Me får eit motsegn ved å gå ut frå at det finst to ulike slike element b og c.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]