Gruppefart

Gruppefarten til ei bølgje er farten som endringane av bølgjeamplituden forplantar seg med. Desse endringane vert òg kalla modulasjonen eller envelopen til bølgja. Gruppefarten vert definert av likninga:

$v_g \ \equiv\ \frac{\partial \omega}{\partial k}$

der:

v_g er gruppefarten

ω er bølgja sin vinkelfrekvens

k er bølgjetalet

Ein tenkjer ofte på gruppefarten som farten energien eller informasjonen i bølgja forplantar seg med i ei bølgje. Viss bølgja derimot flyttar seg gjennom eit absorberande medium, så gjeld ikkje alltid dette. T.d. kan ein setje opp eksperiment der gruppefarten til blinkande laserlys sendt gjennom eit spesielt stoff bryt lysfarten i vakuum. Det er derimot ikkje mogeleg å overføre informasjon raskare enn lyset, så i slike tilfelle vil ikkje farten til signalet og gruppefarten vere lik. Det er òg mogeleg å redusere gruppefarten til null og stoppe blinkinga, eller å ha negativ gruppefart, slik at blinkinga ser ut til å forplante seg bakover.

Funksjonen ω(k), som gjev ω som ein funksjon av k, vert kalla dispersjonsforholdet. Viss ω er direkte proporsjonal med k, så er gruppefarten eksakt lik fasefarten. Elles vil bølgjemodulasjonen verte vrengd når ho forplantar seg. Dispersjon av gruppefart er ein viktig effekt i forplantinga av signal gjennom optisk fiber.

Ideen om at gruppefarten til ei bølgje kunne vere forskjellig frå fasefarten vart først lagt fram av William Rowan Hamilton i 1839, og vart først fullt utreda av John Strutt Rayleigh i .

Gruppefart i kvantemekanikk

Albert Einstein forklarte i 1905 at lys hadde eigenskapar til både partiklar og bølgjer. Louis de Broglie sette fram ein hypotese om at alle partiklar kan ha desse eigenskapane, og at farten til ein partikkel alltid vil vere lik gruppefarten til den samsvarande bølgja. De Broglie utleidde at sidan dualitetslikningane for lys allereie var kjend, så ville desse òg gjelde for alle partiklar. Dette betyr at

$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}$

der

E er totalenergien til partikkelen

p er rørslemengd,

$\hbar$ er Dirac-konstanten.

Ved å bruke den spesielle relativitesteorien har vi

$\begin{align} v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4} \right)\\ &= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m_0^2 c^4}}\\ &= \frac{\gamma m_0vc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m_0^2v^2c^2+m_0^2c^4}} = \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}}\\ &= \frac{vc}{\sqrt{v^2+ \left( c / \gamma \right)^2}} = \frac{vc}{\sqrt{v^2 + \left( \sqrt{c^2 - v^2} \right)^2}}\\ &= v. \end{align}$

der

$m_0$ er kvilemasse,

c er lysfarten i vakuum

$\gamma$ er Lorentz-faktoren.

og v er farten til ein partikkel, sjølv om han ikkje skulle oppføre seg som ei bølgje.

Kvantemekanikk har med stor nøysemd vist at denne hypotesen gjeld, og forholdet har vorte vist for partiklar så store som molekyl.

Kjelder

• Brillouin, Léon. Wave Propagation and Group Velocity. Academic Press Inc., New York (1960).
• Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.