Påskeformelen

Den astronomiske klokka i Strasbourg viser element som er viktige for å finna påskeformelen.

Instruksjon for korleis ein kan finna rørlege helgedagar ved hjelp av fingrane.

Påskeformelen er metoden ein bruker for å rekna ut kva tid påsken fell i eit gjeve år. Sidan tidleg mellomalder har utrekninga vore svært viktig, ettersom datoane for store delar av kyrkjeåret blir sette ut frå dette tidspunktet.

På latin og engelsk blir prosedyren kalla for computus Ordet «computer» («komputist» på norsk) viste opphavleg til ein person som var i stand til å rekna ut påsketidspunktet. Dei best kjende komputistane frå mellomalderen er Denis le Petit og Beda.

Definisjon

I dei fleste oppslagsverk finn ein regelen formulert som følgjer:

Første påskedag fell på første sundag etter første fullmåne etter vårjamdøgn.

Dette er ein grei hugseregel om ein er nøgd med ei omtrentleg forståing av tilhøva. Likevel gjev ein slik regel stort rom for ulike tolkingar, mellom anna korleis tidspunktet til påska då vil avhenga av kvar ein er på jordkloden i tilhøve til datolinja og andre astronomiske tilhøve, som detaljkunnskapar om banen til månen og kva for ei geografisk lengd han blir observert frå.

Den kanoniske definisjonen av påskedatoen er den som Konsilet i Nikea kom fram til i år 325: «Påsken er den sundagen som følgjer den fjortande dagen til den månen som oppnår denne alderen på den 21. mars eller umiddelbart deretter.»

Sagt på ein annan måte:

Første påskedag fell på første sundag etter første sykliske fullmåne som finn stad på eller etter 21. mars.

Av definisjonen framgår det at påsken ikkje er fastsett i tilhøve til det astronomiske vårjamdøgn, men i tilhøve til ein fast kalenderdato. Denne ligg rett nok nær det astronomiske vårjamdøgnpunktet, men fell likevel aldri heilt saman med dette. Av dette framgår det òg at påsketidspunktet ikkje er sett fast i tilhøve til fullmånen, men i tilhøve til den nymånen som opptrer den 8. mars eller like etter. «Alderen til månen» viser til mengda dagar som er gått sidan nymåne. Vidare er det ikkje den verkelege månen, som har ein svært komplisert bane, men ein tenkt middelmåne som går med jamn fart i banen sin rundt jorda.

Fullmånen som kjem før tidspunktet for påskehøgtiden er gjennom tidene (òg etter den julianske kalenderen) blitt kalla for påskefullmånen.

Påskedatoen som dei to påskeformlane under gjev i kvar sin periode, er dei som er blitt brukt i dei fleste vesteuropeiske landa sidan kristendomen vart innført og altså etter kyrkjemøtet i Nikea i 325. I jødedommen nyttar ein likevel ein annan formel. Fordi påskedatoen er gjort uavhengig av lengdgrad og rørsla til den verkelege månen, oppnår ein dermed ein dato som er lik for alle, og som lett kan reknast ut for eit kva for eit som helst framtidig eller tidlegare tidspunkt, utan at det er naudsynt å gjera nokon faktiske måneobservasjonar.

For å rekna ut påskedatoen treng ein difor ein «evigvarende månekalender» som går ut frå denne tenkte middelmånen som blir kalla den eklesiastiske månen. Denne reknemåten heiter «Computus Eclesiasticus». Ein skil då mellom to rekneskjema:

Juliansk påskeformel

Det eine rekneskjemaet gjeld fram til og med år 1582 og blir kalla den julianske påskeformelen. Denne er viktig for historiske undersøkingar. Den opphavlege påskeformelen blei først utarbeidd av Denis le Petit på 500-talet. På 700-talet gav så angelsaksaren Beda ut boka De Tempore Ratione, som blei brukt som standard læreverk på dette området gjennom heile mellomalderen.

I dei fleste ortodokse kyrkjene er påskeformelen framleis basert på den julianske kalenderen. Sidan landa vanlegvis brukar den gregorianske kalenderen som sin borgarlege kalender, tyder det at påskedagen vil liggja i tidsrommet 4. april–8. mai i perioden 1900–2099. (Skilnaden mellom den julianske og den gregorianske kalenderen aukar med tre døgn i løpet av 400 år.)

Månekalenderen som ligg til grunn for påskeformelen byggjer på ein syklus på 532 år, som er samansett av ein 28-årig solsyklus og ein 19-årig månesyklus. Den 28-årige solsyklusen er igjen samansett av den 4-årige skotårssyklusen og den 7-årige vekedagssyklusen, medan månesyklusen byggjer på det frå gammalt kjende faktum at den synodiske månen gjennomfører nokså nøyaktig 235 omløp i løpet av 19 julianske år (eitt juliansk år består av 365¼ dagar). Denne 19-årige månesyklusen er kjend frå den greske astronomen Meton og blir kalla metonsk syklus etter han.

Som byringsår for denne 532-årige påskesyklusen valde ein året 608 e. Kr. De første nymånen dette året kom 23. januar, og året fekk tilordna gyldentalet 1. I dette året fall 1. januar på ein måndag. Året fekk difor tilordna sundagsbokstavane G og F. Går ein herfrå 532 år framover i tid til år 1140, så finn ein at sistnemnde år har nøyaktig det same gyldentalet 1 og søndagsbokstavparet G F som det førstnemnde. Dette er fordi den same kombinasjonen av gyldental og sundagsbokstavar alltid gjentek seg etter 532 år, men ikkje før. Eit år får tildelt to sundagsbokstavar når det er eit skotår. Eit års gyldental er eit av tala 1, 2,...19 og eit års sundagsbokstav er éin av dei sju bokstavane A, B,...G, to bokstavar når det er skotår.

Gregoriansk påskeformel

Det andre rekneskjemaet gjeld frå og med år 1583 (med unntak for dei landa som innførte den gregorianske kalenderen ved eit seinare tidspunkt, mellom dei Noreg, i 1700) og blir kalla den gregorianske påskeformelen. Fordi den gregorianske kalenderen er litt meir komplisert enn den julianske, er den gregorianske påskeformelen òg litt meir komplisert enn den julianske.

Påskeformelen gjev no ein periodisk syklus på 5 700 000 år. Påskedagen vil alltid liggja i tidsrommet 22. mars–25. april. I 1818 fall første påskedag på første moglege dato (22. mars), noko som vil skje att i 2285. I 1886 og 1943 fall han på siste moglege dato (25. april), noko som vil skje att i 2038. 

Avvik i Danmark-Noreg

Då Danmark-Noreg innførte den gregorianske kalenderen måndag 1. mars 1700, valde landet etter råd frå astronomen Ole Rømer å følgja dei astronomiske tidspunkta for vårjamdøgn og fullmåne med utgangspunkt i Ven-meridianen.

Det einaste året då dette fekk eit praktisk utslag var i 1744, då Danmark-Noreg feira påske éi veke før alle andre land som hadde gått over til den gregorianske kalenderen. I 1724 var det òg eit avvik på ei veke, men då valde ein likevel å følgja den vanlege påskeformelen. I 1778 ville det òg ha vore avvik, men då hadde ein allereie vedteke å gå attende til å bruka den gregorianske påskeformelen.

Utrekningar

Utrekninga av datoen for påskedagen kan utførast på fleire måtar. Her er nokre av dei som er mest nytta i moderne tid:

Gauss sin metode (for både juliansk og gregoriansk kalender)

Metoden blei utarbeidd av Carl Friedrich Gauss og publisert i 1816 i artikkelen «Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes».

Definisjonar

K = årstalet
a = K mod 19
b = K mod 4
c = K mod 7

Definér frå tabell:

Årstal   | M | N
------------------
Juliansk kalender:
           15   6
Gregoriansk kalender:
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0
2300-2399  26   1

d = (19a + M) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
Viss (d + e) < 10, vil påskedagen vera (d + e + 22). mars elles (d + e – 9). april.

Med unntak av:

26. april blir erstatta med 19. april.
25. april blir erstatta med 18. april viss d = 28, e = 6 og > a 10.

Tala M og N blir rekna ut slik (skal berre gjerast for gregoriansk kalender, sjå over):

Viss k er dei to første siffera til årstalet (hundretalet),
p er kvotienten av divisjonen (13 + 8k)/25 utan omsyn til resten og
q er kvotienten av divisjonen k/4 utan omsyn til resten, så er
M = (15 - p + k - q) mod 30 og
N = (4 + k - q) mod 7.

Formelen til Meeus/Jones/Butcher (berre for gregoriansk kalender)

Denne formelen blei første gong presentert i tidsskriftet Nature i 1876. Sidan har han blitt trykt fleire gonger, mellom anna i bøker av Harold Spencer Jones og Jean Meeus. Han eignar seg til bruk i dataprogram fordi han er utan unntak, på lik linje med fleire av døma under.

Formeloppbygging

Divider	med	Kvotient	Rest
Årstalet (X)	19	–	a
Årstalet (X)	100	b	c
b	4	d	e
b + 8	25	f	–
b - f + 1	3	g	–
19a + b - d - g + 15	30	–	h
c	4	i	k
32 + 2e + 2i - h - k	7	–	l
a + 11h + 22l	451	m	–
h + l - 7m + 114	31	n	p

Då blir n = nummeret til månaden (3 = mars, 4 = april), og p + 1 = dagen i månaden som påskedagen fell på.

Nedanfor blir formelen over vist implementert med Javascript. Den nyttar biblioteket «moment» - frå http://momentjs.com:

    function EasterSunday (InputYear) {
        var a = InputYear % 19;
  	var b = Math.floor(InputYear/100); var c = InputYear % 100;
  	var d = Math.floor(b/4); var e = b % 4;
  	var f = Math.floor((b+8)/25);  	
  	var g = Math.floor((b-f+1)/3);
  	var h = (19a+b-d-g+15) % 30;  	
  	var i = Math.floor(c/4); var k = c % 4;
  	var l = (32 + 2e + 2* i - h - k) % 7;
  	var m = Math.floor((a+11h+22l)/451);
  	var n = Math.floor((h+l-7m+114)/31); var p = (h+l-7m+114) % 31;
  	p++;
  	var es = moment(p+"-"+n+"-"+InputYear, "DD-MM-YYYY"); 	
  	return es;
    }

Meeus sin formel (berre for juliansk kalender)

Belgiaren Jean Meeus skildra denne formelen i den andre utgåva (den engelske) av boka si Astronomical Formulæ for Calculators i 1982. Formelen er kort og utan unntak. Han gjeld berre for den julianske kalenderen.

Formeloppbygging

Divider	med	Kvotient	Rest
Årstalet (X)	4	–	a
Årstalet (X)	7	–	b
Årstalet (X)	19	–	c
19c + 15	30	–	d
2a + 4b - d + 34	7	–	e
d + e + 114	31	f	g

Då vert f = nummeret til månaden (3 = mars, 4 = april), og g + 1 = dagen i månaden som påskedagen fell på.

Lichtenberg sin formel (for både juliansk og gregoriansk kalender)

Denne formelen blei publisert av tyskaren Heiner Lichtenberg i Historia Mathematica 24 i 1997: «Zur Interpretation der Gaußschen Osterformel und ihrer Ausnahmeregeln» (sidene 441–444). Denne er enklare enn Meeus/Jones/Butcher sin formel, er utan unntak og har òg ein variant for den julianske kalenderen. Under er han skriven som norsk Excel der X er eit årstal.

Variabel	Gregoriansk kalender	Juliansk kalender	Tyske kommentarar
K	=HELTALL(X/100)	0	Säkularzahl.
A	=REST(X;19)		Mondparameter.
M	=15+HELTALL((3K+3)/4)-HELTALL((8K+13)/25)	=15	säkulare Mondschaltung.
S	=2-HELTALL((3K+3)/4)	0	säkulare Sonnenschaltung.
D	=REST(19A+M;30)		Keim für den ersten Vollmond im Frühling.
R	=HELTALL(D/29)+(HELTALL(D/28)-HELTALL(D/29))HELTALL(A/11)	0	kalendarische Korrekturgröße.
SZ	=7-REST(X+HELTALL(X/4)+S;7)		erster Sonntag im März.
OG	=21+D-R		Ostergrenze.
OE	=7-REST(OG-SZ;7)		Entfernung in Tagen, die der Ostersonntag von der Ostergrenze hat (Osterentfernung).
OS	=OG+OE		Datum des Ostersonntags, dargestellt al sin März­datum, wobei ein Märzdatum > 31 durch Abziehen von 31 auf ein Aprildatum zu reduzieren ist.

OS er datoen for påskedagen uttrykt som ein dato i mars (t.d. OS = 32 tyder 1. april). I ei dato-formatert celle i Excel kan fullstendig dato då skrivast som:

=DATO(X;HVIS(OS>31;4;3);HVIS(OS>31;OS-31;OS))

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Påskeformelen» frå Wikipedia på bokmål, den 10. april 2017.